Quadratische Gleichungen lösen — Mitternachtsformel & pq-Formel
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Sie hat null, eine oder zwei reelle Lösungen — die berechnet werden mit der Mitternachtsformel (auch abc-Formel) oder der einfacheren pq-Formel. Quadratische Gleichungen sind ein Pflichtthema in der Mittelstufe (Klasse 9–10) und tauchen in der Oberstufe regelmäßig wieder auf — z. B. bei Parabeln, Wurfbahnen oder Optimierungsaufgaben.
Die zwei Lösungsformeln
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Funktioniert für jede quadratische Gleichung in der allgemeinen Form:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
pq-Formel
Gilt für die Normalform x² + px + q = 0 (also a = 1):
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Die pq-Formel ist meist einfacher zu rechnen, setzt aber voraus, dass du erst durch a teilst.
Die Diskriminante D = b² − 4ac
Die Diskriminante entscheidet, wie viele Lösungen es gibt:
- D > 0: Zwei verschiedene reelle Lösungen — die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Stellen.
- D = 0: Eine doppelte Lösung — die Parabel berührt die x-Achse an genau einem Punkt (dem Scheitel).
- D < 0: Keine reellen Lösungen — die Parabel verläuft komplett über oder unter der x-Achse. (Es gibt komplexe Lösungen, die in der Mittelstufe aber nicht behandelt werden.)
Beispiele
Zwei Lösungen (D > 0)
x² − 5x + 6 = 0 → x = (5 ± √(25 − 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2 → x₁ = 3, x₂ = 2
Doppelte Lösung (D = 0)
x² − 4x + 4 = 0 → x = (4 ± √0) / 2 = 2 (zweimal)
Keine reelle Lösung (D < 0)
x² + x + 1 = 0 → D = 1 − 4 = −3 → keine reelle Lösung
Praktische Anwendungen
- Wurfparabel: Berechnung der Flugweite eines Balls oder Geschosses (Wurfbewegung in Physik)
- Optimierung: Maximaler Gewinn bei Parabel-förmiger Kostenfunktion
- Geometrie: Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden
- Finanzmathematik: Effektivzins-Berechnung (manchmal quadratisch)
- Bauingenieurwesen: Brückenbögen, Stützfunktionen, Lastverteilung
Scheitelpunkt der Parabel
Jede quadratische Gleichung gehört zu einer Parabel in der Form y = ax² + bx + c. Ihr Scheitelpunkt (Höchster oder tiefster Punkt) liegt bei:
S = (−b/(2a) | c − b²/(4a))
Der Rechner oben gibt den Scheitelpunkt automatisch mit aus. Bei a > 0 ist der Scheitel der tiefste Punkt (Parabel öffnet nach oben), bei a < 0 der höchste (öffnet nach unten).
Tipps & häufige Fehler
- Bei a ≠ 1: Vor der pq-Formel muss durch a geteilt werden, sonst falsches Ergebnis.
- Vorzeichen beachten:
−bin der Formel kann positiv sein, wenn b negativ ist. - Wurzel aus negativer Zahl: Die Diskriminante D < 0 → keine reellen Lösungen. Nicht versehentlich die Wurzel ziehen.
- Klammer-Reihenfolge:
−b/2aist mathematisch falsch — gemeint ist−b/(2a)mit Klammer.
Häufige Fragen
Wie löse ich eine quadratische Gleichung?
Mit der Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Wenn deine Gleichung in Normalform vorliegt (a = 1), ist die pq-Formel einfacher: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Rechner oben übernimmt beides automatisch.
Was ist die Diskriminante?
Der Term D = b² − 4ac unter der Wurzel. Sie entscheidet: D > 0 → zwei Lösungen, D = 0 → eine doppelte, D < 0 → keine reelle Lösung. Praktisch zur Voraussage, ob die Gleichung lösbar ist.
Wann nutze ich pq-Formel statt Mitternachtsformel?
Wenn deine Gleichung schon in Normalform x² + px + q = 0 vorliegt. Sie ist einfacher zu rechnen. Wenn nicht (a ≠ 1), entweder durch a teilen oder direkt die Mitternachtsformel nehmen.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der höchste oder tiefste Punkt der Parabel — also der Wendepunkt. Bei y = ax² + bx + c liegt er bei x = −b/(2a), der zugehörige y-Wert ergibt sich aus Einsetzen. Bei a > 0 ist es ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.